Question

（2009•成都二模）已知函數f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜

π

2

），且f（

5π

6

）=-A．
（I）求φ的值；
（Ⅱ）若f（α）=

3

5

A，f（β+

π

12

）=

5

13

A且

π

6

＜α＜

π

3

，0＜β＜

π

4

，求cos（2α+2β-

π

6

）的值．

Answer 1

分析：（I）通過f（

5π

6

）=-A，結合|φ|＜

π

2

直接求出φ的值；
（Ⅱ）利用（I）求出函數的表達式，通過f（α）=

3

5

A，求出sin（2α-

π

6

），cos（2α-

π

6

），利用f（β+

π

12

）=

5

13

A且

π

6

＜α＜

π

3

，0＜β＜

π

4

，求出sin2β，cos2β的值，然后利用兩角和的余弦函數求cos[（2α-

π

6

）+2β]的值．

解答：解：（I）由題意，得f（

5π

6

）=-A⇒Asin（2×

5π

6

+φ）=-A，
∴sin（

5π

3

+φ）=-1，
∴

5π

3

+φ=2kπ+

3π

2

，k∈Z
∵|φ|＜

π

2

，
∴φ=-

π

6

．
（Ⅱ）由（I）可知，函數f（x）=Asin（2x-

π

6

），
∵f（α）=

3

5

A∴Asin（2α-

π

6

）=

3

5

A，
∴sin（2α-

π

6

）=

3

5

，
又

π

6

＜α＜

π

3

，
∴

π

6

＜2α-

π

6

＜

π

3

，
∴cos（2α-

π

6

）=

4

5

，
又f（β+

π

12

）=

5

13

A，
∴Asin（2β+

π

6

-

π

6

）=

5

13

A，
∴sin2β=

12

13

，
∵0＜β＜

π

4

，
∴0＜2β＜

π

2

，
∴cos2β=

12

13

，
∴cos（2α+2β-

π

6

）=cos（2α-

π

6

）cos2β-sin（2α-

π

6

）sin2β
=

4

5

×

12

13

-

3

5

×

5

13

=

33

65

．

點評：本題是中檔題，考查三角函數的解析式的求法，兩角和與差的三角函數的應用，注意角的范圍的轉化，考查計算能力．