Question

經過點A(4，0)是否存在直線l，使拋物線y²＝2(x－2)上總有兩點關于l對稱？若存在，求出直線l的斜率的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：這樣的直線顯然是存在的，x軸就滿足要求， 　　此時k＝0． 　　設直線l的方程為y＝k(x－4)(k≠0)．　　① 　　點P1、P2在拋物線上，且關于直線l對稱，則直線P1P2的方程可以表示成y＝－x＋b　　② 　　聯立①，②可得y2＋2ky－(2kb－4)＝0　　③ 　　再設P1P2的中點為P(x0，y0)，則 　　y0＝＝－k． 　　∴x0＝－k(y0－b)＝k(k＋b)． 　　∵點P在直線上， 　　∴－k＝k(k2＋kb－4)． 　　∵k≠0，∴k2＋kb＝3．　　④ 　　由③的根的判別式Δ＞0得k2＋2kb－4＞0．　　⑤ 　　從④，⑤中消去b得k2＜2． 　　∴{k|－＜k＜，且k≠0}． 　　綜合以上，所求k的范圍是{k|－＜k＜}．

提示：

評注：本題解法較多，請同學思考能否用其他方法解決？