【答案】
分析:(1)由題意可得 a
k(x)=

•

,求得a
1(x),a
2(x),a
3(x)的系數,根據前三項的系數成等差數列求得n的值.
(2)由F(x)的解析式求得 F(2)═

+2

+3

+…+(n+1)

,設S
n=

+2

+3

+…+(n+1)

,利用二項式系數的性質求得S
n=(n+2)•2
n-2.再利用導數可得F(x)在[0,2]上是增函數可得對任意x
1,x
2∈[0,2],恒有|F(x
1)-F(x
2)|≤F(2)-F(0)=2
n-1(n+2)-1.
解答:解:(1)由題意可得 a
k(x)=

•

,k=1、2、3,…n+1,
故a
1(x),a
2(x),a
3(x)的系數依次為

=1,

•

=

,


=

.
再由2×

=1+

,解得 n=8.
(2)∵F(x)=a
1(x)+2a
2(x)+2a
2(x)+3a
3(x)…+na
n(x)+(n+1)a
n+1(x)
=

+2

•(

)+3

•

+(n+1)

•

,
∴F(2)=

+2

+3

+…+(n+1)

.
設S
n=

+2

+3

+…+(n+1)

,則有S
n=(n+1)

+n

+…+3

+2

+

.
把以上2個式子相加,并利用

=

可得 2S
n=(n+2)[

+

+

+…+

]=(n+2)•2
n-1,
∴S
n=(n+2)•2
n-2.
當x∈[0,2]時,由于F′(x)>0,∴F(x)在[0,2]上是增函數,故對任意x
1,x
2∈[0,2],
恒有|F(x
1)-F(x
2)|≤F(2)-F(0)=2
n-1(n+2)-1,命題得證.
點評:本題主要考查等差數列的性質,二項式定理的應用,二項式系數的性質,利用導數研究函數的單調性,根據函數的
單調性求函數的值域,屬于中檔題.