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已知(1+n展開式的各項依次記為a1(x),a2(x),a3(x)…an(x),an+1(x).設F(x)=a1(x)+2a2(x)+2a2(x)+3a3(x)…+nan(x)+(n+1)an+1(x).
(1)若a1(x),a2(x),a3(x)的系數依次成等差數列,求n的值;
(2)求證:對任意x1,x2∈[0,2],恒有|F(x1)-F(x2)|≤2n-1(n+2)-1.
【答案】分析:(1)由題意可得 ak(x)=,求得a1(x),a2(x),a3(x)的系數,根據前三項的系數成等差數列求得n的值.
(2)由F(x)的解析式求得 F(2)═+2+3+…+(n+1),設Sn=+2+3+…+(n+1),利用二項式系數的性質求得Sn=(n+2)•2n-2.再利用導數可得F(x)在[0,2]上是增函數可得對任意x1,x2∈[0,2],恒有|F(x1)-F(x2)|≤F(2)-F(0)=2n-1(n+2)-1.
解答:解:(1)由題意可得 ak(x)=,k=1、2、3,…n+1,
故a1(x),a2(x),a3(x)的系數依次為 =1,==
再由2×=1+,解得 n=8.
(2)∵F(x)=a1(x)+2a2(x)+2a2(x)+3a3(x)…+nan(x)+(n+1)an+1(x)
=+2•()+3+(n+1)
∴F(2)=+2+3+…+(n+1)
設Sn=+2+3+…+(n+1),則有Sn=(n+1)+n+…+3+2+
把以上2個式子相加,并利用= 可得 2Sn=(n+2)[+++…+]=(n+2)•2n-1
∴Sn=(n+2)•2n-2
當x∈[0,2]時,由于F′(x)>0,∴F(x)在[0,2]上是增函數,故對任意x1,x2∈[0,2],
恒有|F(x1)-F(x2)|≤F(2)-F(0)=2n-1(n+2)-1,命題得證.
點評:本題主要考查等差數列的性質,二項式定理的應用,二項式系數的性質,利用導數研究函數的單調性,根據函數的
單調性求函數的值域,屬于中檔題.
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