Question

已知函數f（x）=

x2，x∈(-∞，0) 2cosx，x∈(0，π)

，若f[f（x₀）]=0，則x₀=

 

．

Answer 1

考點：分段函數的應用,函數的值

專題：函數的性質及應用

分析：當x∈（-∞，0）時f（x）=x²＞0，若f[f（x₀）]=0，則f（x₀）的函數值為0，不可能，從而f（x₀）∈（0，π）
易推f[f（x₀）]=0中f（x₀）=

π

2

，分①當x₀∈（-∞，0）及②當x₀∈（0，π）時兩種情況討論函數值求出x₀的值．

解答： 解：當x∈（-∞，0）時，∵f（x）=x²＞0，
若f[f（x₀）]=0，則f（x₀）的函數值為0，不可能；
∴f（x₀）∈（0，π）
∵cos

π

2

=0，∴f[f（x₀）]=0中f（x₀）=

π

2

，
①當x₀∈（-∞，0）時，x₀²=

π

2

，∴x₀=-

π 2

=-

2π

2

，
②當x₀∈（0，π）時，2cosx₀=

π

2

，∴cosx₀=

π

4

，∴x₀=arccos

π

4

，
綜上：x₀=-

2π

2

，或x₀=arccos

π

4

，
故答案為：-

2π

2

或arccos

π

4

．

點評：分段函數分段處理，這是研究分段函數圖象和性質最核心的理念，具體做法是：根據自變量不同的分段，利用相應的函數表達式代換解題．