Question

已知函數f（x）的定義域（0，+∞），若y=

f(x)

x

在（0，+∞）上為增函數，則稱f（x）為“一階比增函數”；若y=

f(x)

x2

在（0，+∞）上為增函數，則稱f（x）為“二階比增函數”．把所有由“一階比增函數”組成的集合記為A₁，把所有由“二階比增函數”組成的集合記為A₂
（1）已知函數f（x）=x³-2hx²-hx，若f（x）∈A₁且f（x）∉A₂，求實數h的取值范圍
（2）已知f（x）∈A₂，且存在常數k，使得對任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜k，求k的最小值．

Answer 1

考點：函數與方程的綜合運用

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）由f（x））∈A₁且f（x）∉A₂知g（x）=

f(x)

x

=x²-2hx-h在（0，+∞）上為增函數，F（x）=

f(x)

x2

=x-

h

x

-2h在（0，+∞）上不是增函數，求導F′（x）=1+

h

x2

；從而確定h的取值范圍；
（2）利用反證法先證明f（x）≤0對任意的x∈（0，+∞）成立，再證明f（x）=0在（0，+∞）上無解，從而可是當f（x）∈A₂時，對任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜0成立，故當常數k≥0時，使得對任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜k；從而求最小值．

解答： 解：（1）∵f（x））∈A₁且f（x）∉A₂，
即g（x）=

f(x)

x

=x²-2hx-h在（0，+∞）上為增函數，
∴h≤0；
而F（x）=

f(x)

x2

=x-

h

x

-2h在（0，+∞）上不是增函數，
且F′（x）=1+

h

x2

；
當F（x）是增函數時，有h≥0；
所以當F（x）不是增函數時，h＜0；
綜上，h＜0．
（2）先證明f（x）≤0對任意的x∈（0，+∞）成立，
假設存在x₀∈（0，+∞），使得f（x₀）＞0，
記

f(x0)

x 2 0

=m＞0，因為f（x）∈A₂，
所以f（x）為“二階比增函數”，
即

f(x)

x2

是增函數，
所以當x＞x₀＞0時，

f(x)

x2

＞

f(x0)

x 2 0

=m，
即f（x）＞mx²；
所以一定存在x₁＞x₀＞0，使得f（x₁）＞m

x

2 1

＞k成立，
這與f（x）＜k對任意的x∈（0，+∞）成立矛盾，
所以f（x）≤0對任意的x∈（0，+∞）都成立；
再證明f（x）=0在（0，+∞）上無解，
假設存在x₂＞0，使得f（x₂）=0；
∵f（x）為“二階比增函數”，即

f(x)

x2

是增函數，
∴一定存在x₃＞x₂＞0，使得

f(x3)

x 2 3

＞

f(x2)

x 2 2

=0成立，
這與上述的證明結果矛盾．
所以f（x）=0在（0，+∞）上無解，
綜上所述，當f（x）∈A₂時，對任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜0成立，
所以當常數k≥0時，使得對任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜k；
故k的最小值為0．

點評：本題考查了學生對新定義的接受與轉化運用的能力，同時考查了導數的綜合應用，屬于難題．