Question

已知函數f（x）=lnx-ax²，a為常數．
（Ⅰ）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）若函數f（x）有兩個零點x₁、x₂，試證明：x₁x₂＞e．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,函數的零點,利用導數研究函數的單調性,不等式的證明

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出函數的定義域，函數的導數，通過a≤0時，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調遞增；a＞0時，求出極值點，然后通過導數的符號，判斷函數的單調性．
（Ⅱ）設x₁＞x₂，求出a=

lnx1-lnx2

x12-x22

，利用分析法證明x₁x₂＞e，轉化為證明：ln

x1

x2

＞

x12-x22

x12+x22

（x₁＞x₂＞0），通過令

x1

x2

=t，則t＞1，構造設g(t)=lnt-

t2-1

t2+1

=lnt+

2

t2+1

-1（t＞1），利用函數的導數求解函數的最小值利用單調性證明即可．

解答： （本小題滿分13分） 
解：（Ⅰ）定義域為（0，+∞），f′(x)=

1

x

-2ax=

1-2ax2

x

，…（2分）
當a≤0時，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調遞增；  …（4分）
當a＞0時，由f'（x）=0，得x=

1

2a

=

2a

2a

，
當0＜x＜

2a

2a

時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增，
當x＞

2a

2a

時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減．…（6分）
（Ⅱ）證明：設x₁＞x₂，
∵lnx1-ax12=0，lnx2-ax22=0，
∴lnx1+lnx2=ax12+ax22，lnx1-lnx2=ax12-ax22，
則a=

lnx1-lnx2

x12-x22

，
欲證明x₁x₂＞e，即證lnx₁+lnx₂＞1，
因為lnx1+lnx2=a(x12+x22)，
∴即證a＞

1

x12+x22

，
∴原命題等價于證明

lnx1-lnx2

x12-x22

＞

1

x12+x22

，
即證：ln

x1

x2

＞

x12-x22

x12+x22

（x₁＞x₂＞0），
令

x1

x2

=t，則t＞1，
設g(t)=lnt-

t2-1

t2+1

=lnt+

2

t2+1

-1（t＞1），
∴g′(t)=

1

t

-

4t

(t2+1)2

=

(t2-1)2

t(t2+1)2

≥0，
∴g（t）在（1，+∞）單調遞增，又因為g（1）=0，
∴g（t）＞g（1）=0，
∴lnt＞

t2-1

t2+1

，所以x₁x₂＞e．…（13分）

點評：本題考查函數的導數的應用，函數的最小值以及函數的單調性的應用，構造法分析法證明不等式，考查分析問題解決問題的能力．