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16.已知x,y滿足$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+y≤4\\ x≥1\end{array}\right.$,則$\frac{{{y^2}-2xy+3{x^2}}}{x^2}$的取值范圍為(  )
A.[2,6]B.[2,4]C.[1,6]D.[1,3]

分析 首先畫出可行域,將目標函數變形為=$(\frac{y}{x})^{2}-2\frac{y}{x}+3=(\frac{y}{x}-1)^{2}+2$,利用目標函數的幾何意義求最值.

解答 解:不等式組表示的平面區域如圖:則$\frac{{{y^2}-2xy+3{x^2}}}{x^2}$=$(\frac{y}{x})^{2}-2\frac{y}{x}+3=(\frac{y}{x}-1)^{2}+2$,而$\frac{y}{x}$表示區域內的點與原點連接的直線的斜率,所以過A時最小,過C時最大,
因此$\frac{y}{x}∈[1,3]$,所以$\frac{{{y^2}-2xy+3{x^2}}}{x^2}$∈[2,6];
故選:A.

點評 本題考查了簡單線性規劃問題,首先正確畫出可行域,利用目標函數的幾何意義求最值;利用了數形結合的思想.

練習冊系列答案
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