Question

16．已知x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+y≤4\\ x≥1\end{array}\right.$，則$\frac{{{y^2}-2xy+3{x^2}}}{x^2}$的取值范圍為（　　）

• A． [2，6]
• B． [2，4]
• C． [1，6]
• D． [1，3]

Answer 1

分析 首先畫出可行域，將目標函數變形為=$（\frac{y}{x}）^{2}-2\frac{y}{x}+3=（\frac{y}{x}-1）^{2}+2$，利用目標函數的幾何意義求最值．

解答 解：不等式組表示的平面區域如圖：則$\frac{{{y^2}-2xy+3{x^2}}}{x^2}$=$（\frac{y}{x}）^{2}-2\frac{y}{x}+3=（\frac{y}{x}-1）^{2}+2$，而$\frac{y}{x}$表示區域內的點與原點連接的直線的斜率，所以過A時最小，過C時最大，
因此$\frac{y}{x}∈[1，3]$，所以$\frac{{{y^2}-2xy+3{x^2}}}{x^2}$∈[2，6]；
故選：A．

點評 本題考查了簡單線性規劃問題，首先正確畫出可行域，利用目標函數的幾何意義求最值；利用了數形結合的思想．