Question

設函數是定義在上的偶函數，當時，（是實數）。

（1）當時，求f(x)的解析式；

（2）若函數f(x)在（0,1]上是增函數，求實數的取值范圍；

（3）是否存在實數，使得當時，f(x)有最大值1.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）

（3）存在使得當時，f(x)有最大值1

【解析】本試題主要是考查了函數的奇偶性和單調性以及函數的最值的綜合運用。

（1）因為函數是定義在上的偶函數，當時的解析式，利用偶函數的的對稱性得到結論。

（2）因為給定區間單調遞增，即當時，

所以因為f(x)在(0,1]上是增函數，所以

（3）對于參數a進行分類討論得到最值。

解：（1）設則   ---------1分

所以 -------2分

因為f(x)是偶函數，所以f(-x)=f(x)    ----------3分

所以   ---------4分

（2）當時，

所以

因為f(x)在(0,1]上是增函數，所以  -------------6分

所以a的取值范圍是   ---------7分

（3）(i)當時，由（2）知f（x）在區間(0,1]上是增函數

所以不合題意，舍去

（ii）當時，在區間（0,1]上，

令   -------------8分

由下表

	＋	0	－
	增	極大值	減

f(x)在處取得最大值 ----------9分

  -------------10分

所以   --------11分

注意到，所以符合題意 --------12分

(iii)當時，在區間（0,1]上，，

所以f(x)為減函數，無最大值  --------13分

綜上所述，存在使得當時，f(x)有最大值1、