Question

已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，設(shè)g(x)=

f(x)+f(-x)

2

，h(x)=

f(x)-f(-x)

2

①試判斷g（x）與h（x）的奇偶性；
②試判斷g（x），h（x）與f（x）的關(guān)系；
③由此你能猜想得出什么樣的結(jié)論，并說明理由．

Answer 1

分析：①根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，我們易判斷出g（-x）與g（x），h（-x）與h（x）的關(guān)系，進而判斷出函數(shù)g（x）與h（x）的奇偶性；
②由已知中函數(shù)g（x）與h（x）的解析式，我們易判斷g（x），h（x）與f（x）的關(guān)系；
③根據(jù)①②的結(jié)論，通過歸納分析即可得到結(jié)論．

解答：解：①∵g(-x)=

f(-x)+f(x)

2

=g（x）
∴函數(shù)g（x）為偶函數(shù)
又∵h(-x)=

f(-x)-f(x)

2

=-

f(x)-f(-x)

2

=-h（x）
∴函數(shù)h（x）為奇函數(shù)
②∵g(x)=

f(x)+f(-x)

2

，h(x)=

f(x)-f(-x)

2

∴f（x）=g（x）+h（x）
③由①②得，任何一個定義域為R的函數(shù)都可以分解為一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)相加的形式．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的判斷，熟練掌握函數(shù)奇偶性的定義是解答本題的關(guān)鍵．