Question

【題目】已知拋物線上橫坐標為的點到焦點的距離為.

（1）求拋物線的方程；

（2）若過點的直線與拋物線交于不同的兩點，且以為直徑的圓過坐標原點，求的面積。

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）由拋物線上橫坐標為的點到焦點的距離為可得 解得，從而可得拋物線的方程；（2）先討論直線斜率不存在時的情況，當斜率存在時，設直線方程為聯立，消去得 ，根據韋達定理、平面向量數量積公式以及弦長公式、點到直線距離公式與三角形面積公式可求得的面積.

試題解析：（1）依題意： 解得，所以拋物線的方程為

（2）依題意：若直線斜率不存在時，直線與拋物線只有一個交點，不符合題意；

所以設直線方程為

聯立，消去得

所以

又

因為以為直徑的圓過坐標原點，所以，

所以

解得，由，點到直線的距離為

所以。