Question

【題目】如今我們的互聯網生活日益豐富，除了可以很方便地網購，網絡外賣也開始成為不少人日常生活中重要的一部分，其中大學生更是頻頻使用網絡外賣服務.市教育主管部門為掌握網絡外賣在該市各大學的發展情況，在某月從該市大學生中隨機調查了人，并將這人在本月的網絡外賣的消費金額制成如下頻數分布表（已知每人每月網絡外賣消費金額不超過元）：

消費金額（單位：百元）
頻數

由頻數分布表可以認為，該市大學生網絡外賣消費金額（單位：元）近似地服從正態分布，其中近似為樣本平均數（每組數據取區間的中點值，）.現從該市任取名大學生，記其中網絡外賣消費金額恰在元至元之間的人數為，求的數學期望；

市某大學后勤部為鼓勵大學生在食堂消費，特地給參與本次問卷調查的大學生每人發放價值元的飯卡，并推出一檔“勇闖關，送大獎”的活動.規則是：在某張方格圖上標有第格、第格、第格、…、第格共個方格.棋子開始在第格，然后擲一枚均勻的硬幣（已知硬幣出現正、反面的概率都是，其中），若擲出正面，將棋子向前移動一格（從到），若擲出反面，則將棋子向前移動兩格（從到）.重復多次，若這枚棋子最終停在第格，則認為“闖關成功”，并贈送元充值飯卡；若這枚棋子最終停在第格，則認為“闖關失敗”，不再獲得其他獎勵，活動結束.

①設棋子移到第格的概率為，求證：當時，是等比數列；

②若某大學生參與這檔“闖關游戲”，試比較該大學生闖關成功與闖關失敗的概率大小，并說明理由.

參考數據：若隨機變量服從正態分布，則，，.

Answer 1

【答案】；①證明見解析；②闖關成功的概率大于闖關失敗的概率，理由見解析.

【解析】

根據數據算出，由服從正態分布，算出概率，即，進而算出的數學期望；

①棋子開始在第格為必然事件，.第一次擲硬幣出現正面，棋子移到第格，其概率為，即.棋子移到第格的情況是下列兩種，即棋子先到第格，又擲出反面，其概率為；棋子先到第格，又擲出正面，其概率為.所以.即，進而求證當時，是等比數列；②由①知，，，，，得，所以，算出相應概率判斷出闖關成功的概率大于闖關失敗的概率.

解：

，

因為服從正態分布，所以.

所以，

所以的數學期望為.

①棋子開始在第格為必然事件，.

第一次擲硬幣出現正面，棋子移到第格，其概率為，即.

棋子移到第格的情況是下列兩種，而且也只有兩種：

棋子先到第格，又擲出反面，其概率為；

棋子先到第格，又擲出正面，其概率為，

所以，

即，且，

所以當時，數列是首項，公比為的等比數列.

②由①知，，，，，

以上各式相加，得，

所以.

所以闖關成功的概率為，

闖關失敗的概率為.

，

所以該大學生闖關成功的概率大于闖關失敗的概率.