Question

在O點(diǎn)測(cè)量到遠(yuǎn)處有一物體在做勻速直線運(yùn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)該物體位于點(diǎn)P，一分鐘后，其位置在Q點(diǎn)，且∠POQ=90°，再過(guò)二分鐘后，該物體位于R點(diǎn)，且∠QOR=60°，則tan²∠OPQ的值等于（　　）

• A、

  4

  9

• B、

  2 3

  9

• C、

  4

  27

• D、以上均不正確

Answer 1

分析：由題意可設(shè)PQ=x，則QR=2x，∠POQ=90°，∠QOR=60°∠OPQ+∠R=30°，即∠R=30°-∠OPQ
在△ORQ中，△OPQ中分別利用正弦定理

OQ

sinR

=

QR

sin60°

表示OQ=

2x•sinR

sin60°

=

4 3 x

3

sinR=

4 3 x

3

sin(30°-∠OPQ)
OQ=

OP

sin90°

•sin∠OPQ=xsin∠OPQ從而∴

4 3 x

3

sin(30°-∠OPQ)=xsin∠OPQ，整理可求

解答：解：如下圖所示，物體位于點(diǎn)P，一分鐘后，其位置在Q點(diǎn)，再過(guò)二分鐘后，該物體位于R點(diǎn)

∴設(shè)PQ=x，則QR=2x，
又∵∠POQ=90°，∠QOR=60°
∠OPQ+∠R=30°，即∠R=30°-∠OPQ
在△ORQ中，由正弦定理得

OQ

sinR

=

QR

sin60°

OQ=

2x•sinR

sin60°

=

4 3 x

3

sinR=

4 3 x

3

sin(30°-∠OPQ)
在△OPQ中，由正弦定理得OQ=

OP

sin90°

•sin∠OPQ=xsin∠OPQ
∴

4 3 x

3

sin(30°-∠OPQ)=xsin∠OPQ
整理可得，tan∠OPQ=

2 3

9

tan2∠OPQ=

4

27

故選C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用正弦定理解決實(shí)際問(wèn)題，求解實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是要把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解．