Question

【題目】已知橢圓中心在坐標原點,焦點在坐標軸上,且經過三點.

(1)求橢圓的方程;

(2)在直線上任取一點,連接,分別與橢圓交于兩點,判斷直線是否過定點?若是,求出該定點.若不是,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：由于橢圓過兩個不同的點，故可設橢圓方程為，代入已知點的坐標，可以橢圓的方程.（2）的直線均是過頂點的直線，故通過聯立方程組可以得到兩點的坐標，再根據橢圓及其動點的對稱性可以知道定點如果存在，則必定在軸上，猜出定點的坐標為，最后利用斜率證明三點共線.

（1）設橢圓方程為， 將代入橢圓方程得到，計算得出，所以橢圓方程為.

（2）直線，直線，聯立得，所以，故，代入得到，因此.同理.取，

當時， ， ，所以三點共線；

當時， ， 三點共線；

綜上， 三點共線也就是過定點.