Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}ln（{1-x}），x＜0\\{（{x-1}）^3}+1，x≥0\end{array}$，若f（x）≥ax恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． $[{0，\frac{2}{3}}]$
• B． $[{0，\frac{3}{4}}]$
• C． [0，1]
• D． $[{0，\frac{3}{2}}]$

Answer 1

分析 討論當a＞0、a=0和a＜0時，直線y=ax與y=f（x）的圖象交點問題，結(jié)合圖象可得a的范圍．

解答 解：根據(jù)題意，畫出函數(shù)y=f（x）和y=ax的圖象，如圖所示；
當a＞0時，直線y=ax與y=（x-1）³+1（x≥0）相切，
設(shè)切點為（m，am），
由y=（x-1）³+1的導數(shù)為y′=3（x-1）²，
可得a=3（m-1）²，am=（m-1）³+1，
解方程可得m=$\frac{3}{2}$，a=$\frac{3}{4}$．
由圖象可得0＜a≤$\frac{3}{4}$；
當a=0時，不等式f（x）≥ax=0恒成立，
當a＜0時，在x＜0時，不等式不成立．
綜上可得a的取值范圍是[0，$\frac{3}{4}$]．
故選：B．

點評 本題考查了不等式成立問題的解法，注意運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，以及導數(shù)的運用：求切線的斜率，考查運算能力，屬于難題．