Question

設F是拋物線y²=16x的焦點，A，B，C在拋物線上，且橫坐標分別是x₁，x₂，x₃，則下列說法正確的有

 

．
①若

FA

+

FB

+

FC

=

0

，則|

FA

|+|

FB

|+|

FC

|=24；
②若x₁+x₃=2x₂，則|

FA

|，|

FB

|，|

FC

|成等差數列；
③若直線AB經過點F，則以AB為直徑的圓與直線x=-4相切．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：①根據

FA

+

FB

+

FC

=

0

，可判斷點F是△ABC重心，進而可求x₁+x₂+x₃的值，再根據拋物線的定義，即可求得答案．
②|

FA

|+|

FC

|=x₁+x₃+8=2（x₂+4）=2|

FB

|，可得|

FA

|，|

FB

|，|

FC

|成等差數列；
③AB的中點到直線x=-4的距離等于

1

2

AB，可得結論．

解答： 解：拋物線焦點坐標F（4，0），準線方程：x=-4
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）
∵

FA

+

FB

+

FC

=

0

，∴點F是△ABC重心，
∴x₁+x₂+x₃=12，
∵|FA|=x₁-（-4）=x₁+4，|FB|=x₂-（-4）=x₂+4，|FC|=x₃-（-4）=x₃+4
∴|

FA

|+|

FB

|+|

FC

|=x₁+4+x₂+4+x₃+4=（x₁+x₂+x₃）+12=24，故①正確；
|

FA

|+|

FC

|=x₁+x₃+8=2（x₂+4）=2|

FB

|，∴|

FA

|，|

FB

|，|

FC

|成等差數列，故②正確；
∵AB的中點到直線x=-4的距離等于

1

2

AB，∴以AB為直徑的圓與直線x=-4相切，故③正確．
故答案為：①②③

點評：本題重點考查拋物線的簡單性質與定義，考查向量知識的運用，解題的關鍵是判斷出F點為三角形的重心．