Question

直線y=x+b與曲線x=

9-y2

恰有一個公共點，則b的取值范圍是

-3＜b≤3或b=-3

2

．

Answer 1

分析：先整理C的方程可知曲線C的圖象為半圓，要滿足僅有一個公共點，有兩種情況，一種是與半圓相切，根據原點到直線的距離為半徑3求得b，一種是與半圓相交但只有一個交點，根據圖象可分別求得b的上限和下限，最后綜合可求得b的范圍．

解答：解：依題意可知曲線C的方程可整理成y²+x²=9（x≥0）
要使直線l與曲線c僅有一個公共點，有兩種情況：如下圖：
（1）直線與半圓相切，原點到直線的距離為3，切于A點，d=

|b|

2

=3，因為b＜0，可得b=-3

2

，滿足題意；
（2）直線過半圓的下頂點（0，-3）和過半圓的上頂點（3，0）之間的直線都滿足，
y=x+b過點（0，-3），可得b=-3，有兩個交點，
y=x+b過點（0，3），可得b=3，有一個交點，
∴-3＜b＜3，此時直線y=x+b與曲線x=

9-y2

恰有一個公共點；
綜上：-3＜b≤3或b=-3

2

；
故答案為：-3＜b≤3或b=-3

2

；

點評：本題主要考查了直線與圓的位置關系，考查了學生對數形結合思想，分類討論思想，轉化和化歸的思想的綜合運用，是一道好題；