Question

已知向量

a

=（sin（x+

π

4

），3cos（x+

π

4

））與

b

=（1，1）且滿足

a

∥

b

，其中x∈（0，

π

2

）．
（1）求sinx的值；
（2）若θ∈（0，

π

2

），cos（x+θ）=

3

5

，求cosθ的值．

Answer 1

考點：平面向量共線（平行）的坐標表示,同角三角函數基本關系的運用,兩角和與差的余弦函數

專題：三角函數的求值,平面向量及應用

分析：（1）直接利用向量平行的坐標表示列式求得tanx，再由同角三角函數的基本關系式求得sinx的值；
（2）由角的范圍結合已知求得sin（x+θ）的值，再由拆角的方法結合兩角差的余弦求得cosθ的值．

解答： 解：（1）∵

a

=（sin（x+

π

4

），3cos（x+

π

4

）），

b

=（1，1），
由

a

∥

b

，得sin（x+

π

4

）-3cos（x+

π

4

）=0，
即sinx•cos

π

4

+cosx•sin

π

4

-3cosx•cos

π

4

+sinx•sin

π

4

=0．
∴tanx=

1

2

．
∵x∈（0，

π

2

），
∴cotx=2，則cscx=

1+cot2x

=

1+22

=

5

，
∴sinx=

1

cscx

=

5

5

；
（2）由x∈（0，

π

2

），θ∈（0，

π

2

），得x+θ∈（0，π），
由cos（x+θ）=

3

5

，得sin（x+θ）=

1-cos2(x+θ)

=

1-( 3 5 )2

=

4

5

．
由sinx=

5

5

，x∈（0，

π

2

），得cosx=

2 5

5

．
∴cosθ=cos[（x+θ）-x]=cos（x+θ）cosx+sin（x+θ）sinx=

3

5

×

2 5

5

+

4

5

×

5

5

=

2 5

5

．

點評：本題考查了平面向量的坐標運算，考查了同角三角函數基本關系式的應用，考查了三角函數的求值，是中檔題．