Question

已知函數f（x）滿足f（x）=2f（

1

x

），當x∈[1，+∞）時，f（x）=lnx，若在區間（0，e²）內，函數g（x）=f（x）-ax與x軸有3個不同的交點，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,根的存在性及根的個數判斷

專題：計算題,作圖題,導數的綜合應用

分析：由題意可得f（x）=

lnx，x≥1 -2lnx，0＜x＜1

；從而在區間（0，e²）內，a=

f(x)

x

=

lnx x ，x≥1 -2lnx x ，0＜x＜1

；結合函數圖象求解．

解答： 解：由題意，當0＜x＜1時，
f（x）=2f（

1

x

）=2ln

1

x

=-2lnx，
故f（x）=

lnx，x≥1 -2lnx，0＜x＜1

；
在區間（0，e²）內，函數g（x）=f（x）-ax與x軸有3個不同的交點，
即在區間（0，e²）內，f（x）-ax=0有3個不同的解，
即在區間（0，e²）內，
a=

f(x)

x

=

lnx x ，x≥1 -2lnx x ，0＜x＜1

；
作函數y=

f(x)

x

的圖象如下，

結合圖象可得，當x∈（1，e²）時，
令y′=

1-lnx

x2

=0得，
x=e；
故y（e）=

1

e

；y（e²）=

2

e2

；
故實數a的取值范圍是（

2

e2

，

1

e

）．
故答案為：（

2

e2

，

1

e

）．

點評：本題考查了導數的應用及學生作圖的能力，屬于中檔題．