Question

與拋物線y²=8x相切且傾斜角為135°的直線l與x軸和y軸的交點分別是A和B，那么過A，B兩點的最小圓截拋物線y²=8x的準線所得的弦長為

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由已知設出直線l的方程y=-x+m，聯立直線方程和拋物線方程，化為關于x的一元二次方程，由判別式等于0求出m的值，得到直線方程，求出A，B的坐標，得到以AB為直徑的最小圓的方程，和拋物線的準線聯立即可求得弦長．

解答： 解：如圖，

設與拋物線y²=8x相切且傾斜角為135°的直線l的方程為y=-x+m，
聯立

y=-x+m y2=8x

，得x²-（2m+8）x+m²=0，
由△=（2m+8）²-4m²=0，解得：m=-2．
∴準線l的方程為y=-x-2．
∴直線l與x軸和y軸的交點A（-2，0）和B（0，-2）．
則過A，B兩點的最小圓的方程為：（x+1）²+（y+1）²=2．
∵拋物線y²=8x的準線方程為x=-2，
代入圓（x+1）²+（y+1）²=2，得y=0或y=-2．
∴過A，B兩點的最小圓截拋物線y²=8x的準線所得的弦長為0-（-2）=2．
故答案為：2．

點評：本題考查了拋物線的簡單幾何性質，考查了直線與圓錐曲線的關系，求出過A，B兩點的最小圓的方程是解答該題的關鍵，是中檔題．