Question

2．若不等式n²-n（λ+1）+7≥λ，對一切n∈N^*恒成立，則實數λ的取值范圍（　　）

• A． λ≤3
• B． λ≤4
• C． 2≤λ≤3
• D． 3≤λ≤4

Answer 1

分析 推導出n²-n+7≥λ（n+1），從而λ≤$\frac{{n}^{2}-n+7}{n+1}$對一切n∈N^*恒成立．由此利用基本不等式能求出實數λ的取值范圍．

解答 解：∵不等式n²-n（λ+1）+7≥λ，對一切n∈N^*恒成立，
∴n²-n+7≥λ（n+1），
∵n∈N^*，∴λ≤$\frac{{n}^{2}-n+7}{n+1}$對一切n∈N^*恒成立．
而$\frac{{n}^{2}-n+7}{n+1}$=$\frac{（n+1）^{2}-3（n+1）+9}{n+1}$=（n+1）+$\frac{9}{n+1}$-3≥$2\sqrt{（n+1）•\frac{9}{n+1}}$-3=3，
當且僅當n+1=$\frac{9}{n+1}$，即=2時等號成立，
∴n≤3．
故選：A．

點評 本題考查實數的取值范圍的求法，涉及到數列、均值不等式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．