Question

設函數f(x)=

1

2

ax2+2ax-3lnx (a∈R)，
（Ⅰ）若f（x）在x=1處有極值，求a；
（Ⅱ）若f（x）在[2，3]上為增函數，求a的取值范圍．
（Ⅲ）當a=-1時，函數f（x）圖象上是否存在兩點，使得過此兩點處的切線互相垂直？試證明你的結論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可得f（x）的定義域為（0，+∞），求導函數，由已知f'（1）=3a-3=0，從而求得a=1．再經驗證得a=1符合題意；
（Ⅱ）f′(x)=

ax2+2ax-3

x

≥0對x∈[2，3]恒成立，分離參數得a≥

3

x2+2x

，對x∈[2，3]恒成立，可求

3

x2+2x

的最大值為

3

8

，從而得解
（Ⅲ）當a=-1，假設圖象上存在兩點、（x₁＜1，x₂＜1，x₁≠x₂）使得過此兩點處的切線互相垂直，
則由f′(x)=-

x2+2x+3

x

知兩點處的切線斜率分別為k1=-

x 2 1 +2x1+3

x1

，k2=-

x 2 2 +2x2+3

x2

由于x＞0時，f′(x)=-

x2+2x+3

x

＜0 故k₁•k₂＞0，從而矛盾，故得解．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得f（x）的定義域為（0，+∞），
又f′(x)=ax+2a-

3

x

=

ax2+2ax-3

x

，
 由已知f'（1）=3a-3=0，
∴a=1．經驗證得a=1符合題意----4分
  （Ⅱ）f′(x)=

ax2+2ax-3

x

≥0
對x∈[2，3]恒成立，
∴a≥

3

x2+2x

，
對x∈[2，3]恒成立，
因為x∈[2，3]，所以

3

x2+2x

的最大值為

3

8

，
所以a≥

3

8

；-----------------9分
（Ⅲ）當a=-1，假設圖象上存在兩點、（x₁＜1，x₂＜1，x₁≠x₂）使得過此兩點處的切線互相垂直，
則由f′(x)=-

x2+2x+3

x

知兩點處的切線斜率分別為k1=-

x 2 1 +2x1+3

x1

，k2=-

x 2 2 +2x2+3

x2

，
則k₁•k₂=-1＜0（*）      
∵當x＞0時，f′(x)=-

x2+2x+3

x

＜0 
故k₁•k₂＞0與（*）式矛盾，故假設不成立，
∴當a=-1
時，圖象上不存在這樣的兩點使結論成立； …13分

點評：本題以函數為載體，考查函數的極值，考查恒成立問題，考查存在性問題，關鍵是正確運用導函數．