Question

7．過點P（$\frac{1}{2}$，1）的直線l與圓C：（x-1）²+y²=4交于A，B兩點，當∠ACB最小時，三角形ACB的面積為$\frac{\sqrt{55}}{4}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，可知當直線AB與PC垂直時，AB最短，則∠ACB最小，求出弦心距，進一步求出弦長，代入三角形面積公式求解．

解答 解：如圖，
當直線AB與PC垂直時，AB最短，則∠ACB最小，
|PC|=$\sqrt{（\frac{1}{2}-1）^{2}+（1-0）^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$．
|AB|=$2\sqrt{4-（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}}=\sqrt{11}$．
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×\sqrt{11}×\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{55}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{55}}{4}$．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查垂徑定理的應用，是基礎題．