Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥BD交于點O，E為線段PC上的點，且AC⊥BE．
（1）求證：AC⊥DE；
（2）若BC∥AD，PA=6，BC=$\frac{1}{2}AD=\sqrt{2}$，AB=CD，求異面直線DE與PA所成的角．

Answer 1

分析 （1）∵AC⊥BD，AC⊥BE，∴AC⊥平面BDE，∴AC⊥DE．
（2）連接OE，則OE⊥AC，AC⊥AP，∴OE∥AP．．∴∠OED（或其補角）就是異面直線ED與PA所成的角．
解△OED即可求異面直線ED與PA所成的角．

解答 解：（1）∵AC⊥BD，AC⊥BE，BD∩BE=E，∴AC⊥平面BDE，∴AC⊥DE．
（2）連接OE，則OE⊥AC，AC⊥AP，∴OE∥AP．∴∠OED（或其補角）就是異面直線ED與PA所成的角．
在等腰梯形ABCD中，計算可得CO=1，OA=2，∴OE=2，又OD=2，且△OED為直角三角形，∴異面直線ED與PA所成的角為45°．

點評 本題考查了線線垂直的判定，異面直線所成的角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．．