Question

19．設a＞0且a≠1，函數f（x）=log_a|x²-（a+$\frac{1}{a}}）x+1}$）x+1|在[1，2]上是增函數，則a的取值范圍（　　）

• A． a≥2+$\sqrt{3}$
• B． 0＜a＜2-$\sqrt{3}$
• C． a≥2+$\sqrt{3}$或0＜a＜1
• D． a≥2+$\sqrt{3}$或0＜a＜2-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由g（x）=x²-（a+$\frac{1}{a}}）x+1}$）x+1開口向上，對稱軸大于1，且g（1）＜0，可得y=|x²-（a+$\frac{1}{a}}）x+1}$）x+1|在[1，2]上是增函數，結合復合函數的單調性得到關于a的不等式組求解．

解答 解：∵a＞0，∴a+$\frac{1}{a}}）x+1}$≥2，則函數y=x²-（a+$\frac{1}{a}}）x+1}$）x+1的對稱軸為x=$\frac{a+\frac{1}{a}}{2}≥1$，
令g（x）=x²-（a+$\frac{1}{a}}）x+1}$）x+1，∵g（1）=2-（a+$\frac{1}{a}$）＜0，
∴y=|x²-（a+$\frac{1}{a}}）x+1}$）x+1|在[1，2]上是增函數，
∴要使函數f（x）=log_a|x²-（a+$\frac{1}{a}}）x+1}$）x+1|在[1，2]上是增函數，
則$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{\frac{a+\frac{1}{a}}{2}≥2}\end{array}\right.$，解得a$≥2+\sqrt{3}$．
故選：A．

點評 本題考查對數函數的圖象和性質，考查復合函數的單調性，考查數學轉化思想方法，是中檔題．