Question

1．已知定義在R上的減函數y=f（x），若實數a，b使不等式f（a²-2a）≥f（b²-2b）恒成立，則當1≤b≤2時，$\frac{a+b}{a+1}$的取值范圍是（　　）

• A． [0，3]
• B． （0，3]
• C． [1，2]
• D． （1，2]

Answer 1

分析 根據y=f（x）是定義在R上的減函數，得不等式f（a²-2a）≥f（b²-2b）等價于（a-b）（a+b-2）≥0．作出aob直角坐標系如圖，畫出不等式組表示的平面區域，將動點P（a，b）在區域內運動并結合直線的斜率公式，可得取值范圍．

解答 解：∵函數y=f（x）是定義在R上的減函數，
∴任意的a，b∈R，不等式f（a²-2a≥（b²-2b）成立，
即a²-2a≤b²-2b，化簡得（a-b）（a+b-2）≤0
以a、b分別為橫坐標和縱坐標，
建立aob直角坐標系，
作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{（a-b）（a+b-2）≥0}\\{1≤b≤2}\end{array}\right.$表示的平面區域，
則$\frac{a+b}{a+1}$=1+$\frac{b-1}{a+1}$，而$\frac{b-1}{a+1}$表示區域內點
與A（-1，1）的斜率，
其中B（1，1），C（0，2）
∴k_AB=0，k_AC=$\frac{2-1}{0+1}$=1，
∴0≤$\frac{b-1}{a+1}$≤1，
∴1≤$\frac{a+b}{a+1}$≤2，
故選：C

點評 本題以函數的單調性為載體，求解不等式恒成立時參數的取值范圍，著重考查了函數單調性、二元一次不等式表示的平面區域和直線的斜率公式等知識，屬于中檔題．