Question

正數a，b滿足a+3=b（a-1），則ab的最小值是

 

，a+b的最大值是

 

．

Answer 1

分析：由a+3=b（a-1）得到ab=a+b+3，因為a，b為正數，所以利用基本不等式a+b≥2

ab

得到不等式，求出解集即可得到ab的最小值；同理先解出a+b=ab-3，也利用基本不等式ab≤(

a+b

2

)2得到不等式，求出解集即可得到a+b的最大值．

解答：解：因為a，b為正數，所以由基本不等式化簡得：ab=a+b+3≥2

ab

+3，
所以ab-2

ab

-3≥0，

ab

≥3，ab≥9，當且僅當a=b=3時等號成立，得到ab的最小值是9；
a+b=ab-3≤(

a+b

2

)2-3，（a+b）²-4（a+b）-12≥0，a+b≥6，當且僅當a=b=3時等號成立．得到a+b的最大值是6．
故答案為9；6．

點評：此道題的方法實質是利用基本不等式將等式轉化為不等式后，解不等式；而不是直接用基本不等式放縮得到最值，因此不存在放縮后是否為定值的問題．要求學生靈活運用基本不等式求函數的最值．