Question

已知函數f（x）的定義域為[-2，+∞），部分對應值如下表．f′（x）為f（x）的導函數，函數y=f′（x）的圖象如下圖所示．若兩正數a，b滿足f（2a+b）＜1，則

2b+6

a+3

的取值范圍是（　　）

X	-2	0	4
f（x）	1	-1	1

• A、(

  6

  5

  ，

  14

  3

  )
• B、(

  12

  7

  ，

  8

  3

  )
• C、(

  4

  3

  ，

  12

  5

  )
• D、(-

  2

  3

  ，6)

Answer 1

分析：由導函數的圖象得到導函數的符號，利用導函數的符號與函數單調性的關系得到f（x）的單調性，結合函數的單調性求出不等式的解即a，b的關系，畫出關于a，b的不等式表示的平面區域，給函數與幾何意義，結合圖象求出其取值范圍．

解答：解：由導函數的圖形知，
x∈（-2，0）時，f′（x）＜0；
x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0
∴f（x）在（-2，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增；
∵f（2a+b）＜1
∴-2＜2a+b＜4
∵a＞0，b＞0
∴a，b滿足的可行域為

2b+6

a+3

=2

b+3

a+3

表示點（a，b）與（-3，-3）連線的斜率的2倍
由圖知當點為（2．，0）時斜率最小，當點為（0，4）時斜率最大
所以

2b+6

a+3

的取值范圍為(

6

5

，

14

3

)
故選A

點評：利用導函數求函數的單調性問題，應該先判斷出導函數的符號，當導函數大于0對應函數單調遞增；當導函數小于0，對應函數單調遞減．