Question

已知函數f（x）=x³-ax+b存在極值點．
（1）求a的取值范圍；
（2）過曲線y=f（x）外的點P（1，0）作曲線y=f（x）的切線，所作切線恰有兩條，切點分別為A、B．
（�。┳C明：a=b；
（ⅱ）請問△PAB的面積是否為定值？若是，求此定值；若不是求出面積的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求函數的導數，利用函數存在極值即得f'（x）=0有解，注意進行驗證．
（2）根據導數的幾何意義求出切線方程，根據切線方程有兩條，即可證明．求出切點，利用點到直線的距離公式求三角形的面積即可．

解答：解：（1）函數f（x）的導數為f'（x）=3x²-a，若函數存在極值點，
則f'（x）=3x²-a=0有解，即a=3x²，
∴a≥0，
當a=0時，f'（x）=3x²-a=3x²≥0，此時函數f（x）單調遞增，無極值，
∴a＞0．
（2）（ⅰ）過點P（1，0）作曲線的切線，設切點（x₀，f（x₀）），
則切線方程為：y-f(x0)=(3

x

2 0

-a)(x-x0)，
將P（1，0））代入得：-f(x0)=(3

x

2 0

-a)(1-x0)，
即2

x

3 0

-3

x

2 0

+a-b=0，（*），
由條件知切線恰有兩條，
∴方程（*）恰有兩根．
令u（x）=2x³-3x²+a-b，
則u′（x）=6x²-6x=6x（x-1），
則函數u（x）有兩個極值點x=0與x=1，
于是u（0）=0或u（1）=0
當u（0）=0時，a=b成立．
當u（1）=0時，a-b=1，此時f（x）=x³-ax+a-1=（x-1）（x²+x+1-a）經過P（1，0）與條件P在曲線外不符合，
∴a=b．
（ⅱ）當a=b時，2

x

3 0

-3

x

2 0

+a-b=0，（*），
等價為

x

2 0

(2x0-3)=0，解得x₀=0或x0=

3

2

，
此時f（0）=b=a，即A（0，a），
f（

3

2

）=

27

8

-

a

2

，即B（

3

2

，

27

8

-

a

2

）．
則AP的方程為

x

1

+

y

a

=1，即ax+y-a=0，
則|AP|=

a2+1

，
點B到直線ax+y-a=0的距離d=

| 3 2 a+ 27 8 - a 2 -a|

a2+1

=

27 8

a2+1

，
∴△PAB的面積的面積為S=

1

2

|AP|•d=

1

2

×

a2+1

•

27 8

a2+1

=

1

2

×

27

8

=

27

16

為定值．

點評：本題主要考查導數的幾何意義，以及導數的基本運算，綜合性強，運算量較大，難度較大．