Question

已知F₁、F₂為橢圓的焦點，P為橢圓上的任意一點，橢圓的離心率為．以P為圓心PF₂長為半徑作圓P，當圓P與x軸相切時，截y軸所得弦長為．
（1）求圓P方程和橢圓方程；
（2）求證：無論點P在橢圓上如何運動，一定存在一個定圓與圓P相切，試求出這個定圓方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據離心率求得a和c的關系，進而求得b和c的關系，設出橢圓的標準方程，根據圓P與x軸相切時，PF₂⊥x軸，求得P的坐標和圓的半徑，進而根據弦長公式求得c，則橢圓的方程可得．
（2）以F₁為圓心，作圓M，使得圓P內切于圓M，公切點設為Q，則可推斷出點F₁、P、Q在一直線上，進而可知F₁Q=F₁P+PQ=F₁P+PF₂，求得a，進而可推斷出存在圓M：（x+2）²+y²=36滿足題設要求．
解答：解：（1）∵，∴a=3c，b=，
橢圓方程設為，
當圓P與x軸相切時，PF₂⊥x軸，故求得P（c，），圓半徑r=，
由得c=2，
∴橢圓方程為，
此時圓P方程為．
（2）以F₁為圓心，作圓M，使得圓P內切于圓M，公切點設為Q，
則點F₁、P、Q在一直線上，
從而F₁Q=F₁P+PQ=F₁P+PF₂=2a=12，
∴存在圓M：（x+2）²+y²=144滿足題設要求．
點評：本題主要考查了橢圓的應用，橢圓與圓的位置關系等．考查了分析問題和解決問題的能力．