Question

已知數列{a_n}滿足3a_n+1+a_n=4（n≥1，n∈N^*），且a₁=9，其前n項之和為S_n，則滿足不等式|S_n-n-6|＜

1

40

成立的n的最小值是（　　）

• A、7
• B、6
• C、5
• D、4

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：根據條件利用構造法證明數列{a_n-1}是等比數列，求出數列的通項公式和前n項和，解不等式即可．

解答： 解：由3a_n+1+a_n=4（n≥1，n∈N^*），得3（a_n+1-1）=-（a_n-1），
則

an+1-1

an-1

=-

1

3

，
則數列{a_n-1}是公比q=-

1

3

，首項為a₁-1=8，的等比數列，
則a_n-1=8（-

1

3

）^n-1，
即a_n=8（-

1

3

）^n-1+1，
則S_n=

8[1-( 1 3 )n]

1-(- 1 3 )

+n=6-6•（-

1

3

）ⁿ+n，
則|S_n-n-6|=|-6•（-

1

3

）ⁿ|=6•(

1

3

)ⁿ＜

1

40

，
即（

1

3

）ⁿ＜

1

240

，
∵（

1

3

）⁵=

1

243

＜

1

240

，
∴n≥5，
故n的最小值是5，
故選：C

點評：本題主要考查遞推數列的應用，根據條件利用構造法構造對比數列是解決本題的關鍵．