Question

已知P：關(guān)于x的方程x²+（m-1）x+1=0在區(qū)間（0，2）上有兩個相異的零點；Q：函數(shù)g（x）=

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x³+mx+m在（-∞，+∞）上有極值．若P和Q有且只有一個正確，求m的范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)零點的判定定理

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用,簡易邏輯

分析：若P正確，由二次方程的根的位置可得

△=(m-1)2-4＞0 0＜- m-1 2 ＜2 f(0)=1＞0 f(2)=4+2(m+1)+1＞0

，從而求解；若Q正確，則g′（x）=x²+m有正有負，從而可得m＜0；從而由命題求m的范圍．

解答： 解：若P正確，
設f（x）=x²+（m-1）x+1，
則

△=(m-1)2-4＞0 0＜- m-1 2 ＜2 f(0)=1＞0 f(2)=4+2(m+1)+1＞0

，
解得：-

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＜m＜-1；
若Q正確，
則g′（x）=x²+m
（1）若m≥0，則g′（x）≥0恒成立，即g（x）在（-∞，+∞）為增函數(shù)，無極值；
（2）若m＜0，則令g′（x）=x²+m≥0得x≤-

-m

或x≥

-m

，
令g′（x）=x²-m≤0，得-

-m

≤x≤

-m

；
即函數(shù)g（x）在（-∞，-

-m

]及[

-m

，+∞）上為增函數(shù)，在[-

-m

，

-m

]上為減函數(shù)．
故x=-

-m

及x=

-m

是g（x）的極值點．
綜上所述，當m＜0時，函數(shù)g（x）有極值點．
∵P和Q有且只有一個正確，
則m的范圍是（-∞，-

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2

]∪[-1，0）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)應用及導數(shù)的綜合應用，屬于中檔題．