Question

如圖：已知在?ABCD中，對角線AC交BD于O、E為DO的中點，AE交CD于F，設

AB

=

a

，

AD

=

b

，則

BF

=（　　）

• A、-

  1

  2

  a

  +

  b

• B、-

  3

  4

  a

  +

  b

• C、

  3

  4

  a

  +

  b

• D、-

  2

  3

  a

  +

  b

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用

分析：先由D，F，C三點共線便得到存在實數λ使，

CF

=λ

CD

，所以

AF

-

AC

=λ(

AD

-

AC

)，所以得到

AF

=λ

AD

+(1-λ)

AC

．而根據A，E，F三點共線得到，存在實數μ使

AF

=μ

AE

=

μ

2

AD

+

μ

4

AC

，所以根據平面向量基本定理可得到

λ= μ 2 1-λ= μ 4

，解出μ=

4

3

，這樣即可用

a

，

b

表示

AF

，而

BF

=

BA

+

AF

，所以便可用

a

，

b

表示出

BF

．

解答： 解：D，F，C三點共線，則存在實數λ使：

AF

=λ

AD

+(1-λ)

AC

；
A，E，F三點共線，E是DO中點，∴存在μ使：

AF

=μ

AE

=

μ

2

(

AD

+

AO

)=

μ

2

AD

+

μ

4

AC

；
∴

λ= μ 2 1-λ= 1 4 μ

，解得μ=

4

3

；
∴

AF

=

2

3

AD

+

1

3

AC

=

2

3

b

+

1

3

(

a

+

b

)=

1

3

a

+

b

；
∴

BF

=

BA

+

AF

=-

a

+

1

3

a

+

b

=-

2

3

a

+

b

．
故選D．

點評：考查共線向量基本定理，以及平面向量基本定理，向量的加法．