【題目】若存在集合A、B滿足
，
，則稱
為
的一個二分劃.①設
，
，判斷是否為的一個二分劃，說明理由.
②是否能找到的一個二分劃滿足
集合A中不存在三個成等比數列的數；
集合B中不存在無窮的等比數列？說明理由.
【答案】見解析
【解析】
①因為
所以，
故
不是
的一個二分劃.
②能找到.
正整數集中形成的等比數列可以唯一地用一個正整數數對
來表示，其中，a為數列的首項，q為數列的公比.反之，每一對也唯一地表示一個無窮等比數列.
正整數數對可排序如下
將這些數對所對應的無窮等比數列依次記為
先在
中任取一個數
；在
中取數
，使得
；在
中任取
，使得
，在
中取數
，使得
；
一般地，在
中取數
，使得
.如此得到正整數
由這些數組成集合A，并令
可以證明上述構造的A和B滿足題設
和
.
首先，中每一個無窮等比數列中至少有一項集合A中，于是，集合B中不存在無窮等不數列.其次證明集合A中不存在三數成等比數列.任取
不妨設
則
，但由集合A的取法知
從而， 
不成等比數列.因此，集合A中不存在三個成等比數列的數.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若實數
滿足
，則稱
為
的不動點.已知函數
，其中，
、
為常數。
（1）若
，求函數的單調遞增區間；
（2）若時，存在一個實數，使得既是的不動點，又是的極值點，求實數的值；
（3）證明：不存在實數組
，使得互異的兩個極值點均為不動點.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某書店剛剛上市了《中國古代數學史》，銷售前該書店擬定了5種單價進行試銷，每本單價（
元）試銷l天，得到如表單價（元）與銷量
（冊）數據：
單價 |
|
|
|
|
|
銷量 |
|
|
|
|
|
（1）已知銷量與單價具有線性相關關系，求關于
（2）若該書每本的成本為
元，要使得售賣時利潤最大，請利用所求的線性相關關系確定單價應該定為多少元？（結果保留到整數）
附：對于一組數據
，
，…，
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為：
，
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數f(x)的定義域為R．若存在與x無關的正常數M，使|f(x)|≤ M|x|對一切實數x均成立，則稱f(x)為有界泛函．則函數：① f(x)=-3x，② f(x)=x2，③ f(x)=sin2x，④ f(x)=2x，⑤ f(x)=xcosx中，屬于有界泛函的有____________．（填上所有正確的番號）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
的展開式中第5項與第7項的二項數系數相等，且展開式的各項系數之和為1024，則下列說法正確的是（ ）
A.展開式中奇數項的二項式系數和為256
B.展開式中第6項的系數最大
C.展開式中存在常數項
D.展開式中含
項的系數為45
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某高校在2012年的自主招生考試成績中隨機抽取
名中學生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如表所示．
組號 | 分組 | 頻數 | 頻率 |
第1組 |
| 5 |
|
第2組 |
| ① |
|
第3組 |
| 30 | ② |
第4組 |
| 20 |
|
第5組 |
| 10 |
|
（1）請先求出頻率分布表中
位置的相應數據，再完成頻率分布直方圖；
（2）為了能選拔出最優秀的學生，高校決定在筆試成績高的第
組中用分層抽樣抽取名學生進入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試；
（3）在（2）的前提下，學校決定在
名學生中隨機抽取
名學生接受
考官進行面試，求：第
組至少有一名學生被考官面試的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是平行四邊形，
，側面
底面，
,
,
分別為
的中點，點
在線段
上．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）若為的中點，求證：
平面
；
（Ⅲ）當
時，求四棱錐
的體積．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx（a∈R）．
（1）若x=
是函數f（x）的一個極值點，求實數a的值；
（2）當a＞0時，討論函數f（x）的單調性；
（3）當a＞2且x＞1時，求證：函數f（x）的最小值小于﹣3．
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