Question

【題目】若實數滿足，則稱為的不動點.已知函數

，其中，、為常數。

（1）若，求函數的單調遞增區間；

（2）若時，存在一個實數，使得既是的不動點，又是的極值點，求實數的值；

（3）證明：不存在實數組，使得互異的兩個極值點均為不動點.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】

（1）若，則.

故.

當時，顯然，的單調遞增區間為；

當時，由，知或.

綜上，的單調遞增區間為.

（2）由題意知

故，即.

解得.從而，.

（3）假設存在一組實數滿足條件.

由條件知.

因為有兩個不同的極值點，所以，. ①

設的兩個不同的極值點為、 .

則、是方程的兩個實根.

故，.

又由、是的不動點，知、是方程的兩根，設其另一個根為.由韋達定理知

于是，.從而，.

又 ，

即.

故，即.

令.則.

因此，在上嚴格單增.

從而，至多有一個實根.

又，，則至少有一個實根.

所以，恰有一個實數根.

由式①、②知，即，與矛盾.

綜上，不存在實數組，使得互異的兩個極值點均為不動點.