Question

【題目】已知函數f1（x）=﹣ax2，f2（x）=x3+x2，f（x）=f1（x）+f2（x），設f（x）的導函數為f′（x），若不等式f1（x）＜f′（x）＜f2（x）在區間（1，+∞）上恒成立，則a的取值范圍為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

在區間上恒成立，即恒成立，可化為，由一次函數的性質可求的范圍；可化為，由二次函數的性質求出函數的最值，可得的范圍，綜合兩種情況可得結果．

f（x）=﹣ax2+x3+x2=x3+（1﹣a）x2，f′（x）=3x2+2（1﹣a）x，

f1（x）＜f′（x）＜f2（x）在區間（1，+∞）上恒成立，

即﹣ax2＜3x2+2（1﹣a）x＜x3+x2恒成立，

﹣ax2＜3x2+2（1﹣a）x，可化為（a+3）x+2（1﹣a）＞0，

，解得﹣3≤a≤5①；

3x2+2（1﹣a）x＜x3+x2可化為2a＞﹣x2+2x+2，

而﹣x2+2x+2=﹣（x﹣1）2+3＜3，

∴2a≥3，即②，

由①②可得，

∴實數a的取值范圍是，故答案為．