Question

6．已知圓C：（x-2）²+y²=9，直線l：x+y=0．
（1）求過圓C的圓心且與直線l垂直的直線n的方程；
（2）求與圓C相切，且與直線l平行的直線m的方程．

Answer 1

分析 （1）設直線n的方程為x-y+b=0，利用直線n過圓C的圓心（2，0），求出b，可得直線方程；
（2）由兩直線平行時斜率相等，根據直線l方程設所求切線方程為x+y+c=0，由直線與圓相切時，圓心到切線的距離d等于圓的半徑r，利用點到直線的距離公式列出關于c的方程，求出方程的解得到c的值，即可確定出直線m的方程．

解答 解：（1）設直線n的方程為x-y+b=0                       …（2分）
∵直線n過圓C的圓心（2，0），所以2-0+b=0，∴b=-2
∴直線n的方程為x-y-2=0                         …（4分）
（2）∵直線m∥直線x+y=0，
∴設m：x+y+c=0，
∵直線m與圓C相切，
∴3=$\frac{|2+0+c|}{\sqrt{2}}$，
解得：c=-2±3$\sqrt{2}$，
得直線m的方程為：x+y-2+3$\sqrt{2}$=0或x+y-2-3$\sqrt{2}$=0．…（8分）

點評 此題考查了直線與圓的位置關系，以及直線與圓相交的性質，涉及的知識有：點到直線的距離公式，兩直線平行、垂直時斜率滿足的關系，以及圓的標準方程，屬于中檔題．