Question

10．如圖，F₁是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點，A和B是以O為圓心，以|OF₁|為半徑的圓與該左半橢圓的兩個交點，且△F₁AB是等邊三角形，求橢圓的離心率．

Answer 1

分析 以O為圓心，以|OF₁|為半徑的圓的方程為：x²+y²=c²．與橢圓方程聯立解得x_A，即x_D．根據△F₁AB是等邊三角形，可得∠AOD=60°，因此$\frac{OD}{OA}$=cos60°，解出即可得出．

解答 解：以O為圓心，以|OF₁|為半徑的圓的方程為：x²+y²=c²．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為：c²x²=a²（2c²-a²），
解得$x=-\frac{a}{c}$$\sqrt{2{c}^{2}-{a}^{2}}$，
∵△F₁AB是等邊三角形，（設AB與x軸相交于點D）．
∴∠AOD=60°．
∴$\frac{\frac{a}{c}\sqrt{2{c}^{2}-{a}^{2}}}{c}$=cos60°=$\frac{1}{2}$，
化為：e⁴-8e²+4=0，
解得e²=4-2$\sqrt{3}$，e²=4+2$\sqrt{3}$舍去．
解得e=$\sqrt{3}-1$．

點評 本題考查了橢圓與圓的標準方程及其性質、等邊三角形的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．