Question

3．設點E，F分別是棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BC，BB₁的中點．如圖，以D為坐標原點，$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{D{D_1}}$為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標系．
（I）求$\overrightarrow{{A_1}E}•\overrightarrow{{D_1}F}$；
（II）若點M，N分別是線段A₁E與線段D₁F上的點，問是否存在直線MN，使得MN⊥平面ABCD？若存在，求點M，N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用空間直角坐標系中點及向量坐標表示，計算$\overrightarrow{{A_1}E}$•$\overrightarrow{{D_1}F}$即可；
（Ⅱ）存在唯一直線MN，使MN⊥平面ABCD，利用平面ABCD的法向量求出點M，N的坐標．

解答 解：（Ⅰ）在給定空間直角坐標系中，相關點及向量坐標為
A₁（2，0，2），E（1，2，0），D₁（0，0，2），F（2，2，1），
$\overrightarrow{{A_1}E}$=（-1，2，-2），$\overrightarrow{{D_1}F}$=（2，2，-1），…（2分）
所以$\overrightarrow{{A_1}E}•\overrightarrow{{D_1}F}=-2+4+2=4$；…（4分）
（Ⅱ）存在唯一直線MN，使MN⊥平面ABCD；
設M（x₁，y₁，z₁），N（x₂，y₂，z₂），
且$\overrightarrow{{A_1}M}=λ\overrightarrow{{A_1}E}$，$\overrightarrow{{D_1}N}=t\overrightarrow{{D_1}F}$；
則（x₁-2，y₁，z₁-2）=λ（-1，2，-2），
（x₂，y₂，z₂-2）=t（2，2，-1），
所以M（2-λ，2λ，2-2λ），N（2t，2t，2-t），
故$\overrightarrow{MN}=（2t-2+λ，2t-2λ，2λ-t）$，…（8分）
若MN⊥平面ABCD，
則$\overrightarrow{MN}$與平面ABCD的法向量$\overrightarrow n$=（0，0，1）平行，
所以$\left\{\begin{array}{l}2t-2+λ=0\\ 2t-2λ=0\end{array}\right.$，
解得$λ=t=\frac{2}{3}$；
所以點M，N的坐標分別是（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$），（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）．…（12分）

點評 本題考查了空間向量的坐標表示與應用問題，是綜合性題目．