Question

【題目】已知某個機械零件是由兩個有公共底面的圓錐組成的，且這兩個圓錐有公共點的母線互相垂直，把這個機械零件打磨成球形，該球的半徑最大為1，設這兩個圓錐的高分別為，則的最小值為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據題意作出軸截面的示意圖，由等面積法得出兩圓錐的母線的長度關系，再運用均值不等式和勾股定理可得出的最小值．

由題意可知,打磨后所得半徑最大的球是由這兩個圓錐構成的組合體的內切球,如圖1所示，內切球的半徑R =1,如圖2為這個組合體的軸截面示意圖，圓0為內切球的軸截面，E,F,G,H分別為切點,連接，由題意可知，

則四邊形ABCD的面積為，

即，

所以

由基本不等式可得，則，當且僅當時等號成立，

所以，當且僅當時等號成立，

所以的最小值為，

故填：。