Question

【題目】平面直角坐標系中，橢圓C：（）左，右焦點分別為，，且橢圓的長軸長為，右準線方程為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設直線l過橢圓C的右焦點，且與橢圓相交與A，B（與左右頂點不重合）

（i）橢圓的右頂點為M，設的斜率為，的斜率為，求的值；

（ii）若橢圓上存在一點D滿足，求直線l的方程.

Answer 1

【答案】（1）;（2）（i）;（ii）.

【解析】

（1）根據橢圓長軸長和右準線以及，求得的值，進而求得橢圓的方程.

（2）設出直線的方程，聯立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達定理.

（i）求得，結合韋達定理求得的值.

（ii）利用求得點坐標，代入橢圓方程，由此求得直線的方程.

（1）由于橢圓的長軸長為，右準線方程為，所以，解得，所以橢圓方程為.

（2）依題意.設，設直線的方程為，由消去并化簡得，所以，，所以，.

（i）

.

（ii）設，由得，即，即，代入橢圓方程得，

化簡得，由于在橢圓上，所以，所以上式可化為，即，即，解得，所以直線的方程為，即.