Question

【題目】設橢圓的左焦點為，上頂點為.已知橢圓的短軸長為4，離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設點在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點為直線與軸的交點，點在軸的負半軸上.若（為原點），且，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或.

【解析】

(Ⅰ)由題意得到關于a,b,c的方程，解方程可得橢圓方程；

(Ⅱ)聯立直線方程與橢圓方程確定點P的坐標，從而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表達式，最后利用直線垂直的充分必要條件得到關于斜率的方程，解方程可得直線的斜率.

(Ⅰ) 設橢圓的半焦距為，依題意，，又，可得，b=2，c=1.

所以，橢圓方程為.

(Ⅱ)由題意，設.設直線的斜率為，

又，則直線的方程為，與橢圓方程聯立，

整理得，可得，

代入得，

進而直線的斜率，

在中，令，得.

由題意得，所以直線的斜率為.

由，得，

化簡得，從而.

所以，直線的斜率為或.