Question

【題目】已知點E（﹣4，0）和F（4，0），過點E的直線l與過點F的直線m相交于點M，設直線l的斜率為k1，直線m的斜率為k2，如果k1k2．

（1）記點M形成的軌跡為曲線C，求曲線C的軌跡方程．

（2）已知P（2，m）、Q（2，﹣m）（m＞0）是曲線C上的兩點，A，B是曲線C上位于直線PQ兩側的動點，當A，B運動時，滿足∠APQ＝∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（x≠）（2）直線AB的斜率為定值，詳見解析

【解析】

(1)設點,再利用k1k2求得關于的方程即可.

(2)由∠APQ＝∠BPQ可知設直線PA的斜率為k,則PB的斜率為﹣k,再設直線PA的直線方程與橢圓聯立,求得的坐標,再同理求得的坐標,再表達直線AB的斜率進行化簡求解即可.

（1）設所求動點A（x,y）,由,,得,

又,∴,即（x≠±4）．

即點A的軌跡方程為（x≠±4）；

（2）當∠APQ＝∠BPQ,則PA、PB的斜率之和為0,設直線PA的斜率為k,

則PB的斜率為﹣k,

直線PA的直線方程為y﹣3＝k（x﹣2）,

由,整理得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48＝0,

∴,

同理直線PB的直線方程為y﹣3＝﹣k（x﹣2）,

可得．

∴,,

∴,

∴直線AB的斜率為定值．