Question

13．已知正方形ABCD的邊長是a，依次連接正方形ABCD的各邊中點(diǎn)得到一個(gè)新的正方形，再依次連接新正方形的各邊中點(diǎn)又得到一個(gè)新的正方形，按此規(guī)律，依次得到一系列的正方形，如圖所示，現(xiàn)有一只小蟲從A點(diǎn)出發(fā)，沿正方形的邊逆時(shí)針方向爬行，每遇到新正方形的頂點(diǎn)時(shí)，沿這個(gè)新正方形的邊逆時(shí)針方向爬行，如此下去，爬行了10條線段，則這10條線段的長度的和是（　　）

• A． $\frac{31}{128}（2+\sqrt{2}）a$
• B． $\frac{31}{64}（2+\sqrt{2}）a$
• C． $（1+\frac{{\sqrt{2}}}{32}）a$
• D． $（1-\frac{{\sqrt{2}}}{32}）a$

Answer 1

分析 由題意可得：所有正方形的邊長從大到小形成等比數(shù)列：a，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$a，…，利用求和公式即可得出：小蟲爬行了10條線段的長度的和．

解答 解：由題意可得：所有正方形的邊長從大到小形成等比數(shù)列：a，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$a，…，
∴小蟲爬行了10條線段的長度的和=$\frac{1}{2}×\frac{a×[1-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{10}]}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{31}{64}$×$（2+\sqrt{2}）$a．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式與求和公式、正方形的性質(zhì)、勾股定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．