Question

 

已知橢圓和拋物線有公共焦點F(1,0), 的中心和的頂點都在坐標原點，過點M（4，0）的直線與拋物線分別相交于A,B兩點.

（Ⅰ）寫出拋物線的標準方程；

（Ⅱ）若，求直線的方程；

（Ⅲ）若坐標原點關于直線的對稱點在拋物線上，直線與橢圓有公共點，求橢圓的長軸長的最小值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）由題意，拋物線的方程為：，                             

（Ⅱ）設直線的方程為：.

聯立，消去，得 ， 

顯然，設，

則                   ①

                         ②                              

又，所以      ③                           

由①② ③消去，得    ，               

故直線的方程為或 .                     

（Ⅲ）設，則中點為， 因為兩點關于直線對稱，

所以，即，解之得，           

將其代入拋物線方程，得：

，所以，.                               

聯立 ，消去，得：

.                           

由，得

，即，               

將，代入上式并化簡，得

，所以，即，   

因此，橢圓長軸長的最小值為.