Question

（本小題滿分13分）

已知橢圓和拋物線有公共焦點F(1,0), 的中心和的頂點都在坐標原點，過點M（4，0）的直線與拋物線分別相交于A,B兩點.

（Ⅰ）寫出拋物線的標準方程；

（Ⅱ）若，求直線的方程；

（Ⅲ）若坐標原點關于直線的對稱點在拋物線上，直線與橢圓有公共點，求橢圓的長軸長的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）或（3）

【解析】（Ⅰ）由題意，拋物線的方程為：，                                  …………2分

（Ⅱ）設直線的方程為：.

聯立，消去，得 ，                     ……………3分

顯然，設，

則                   ①

                         ②                                       …………………4分

又，所以      ③                                         …………………5分

由①② ③消去，得    ，               

故直線的方程為或 .                               …………………6分

（Ⅲ）設，則中點為， 因為兩點關于直線對稱，

所以，即，解之得，                          …………………8分

將其代入拋物線方程，得：

，所以，.                                                ………………………9分

聯立 ，消去，得：

.                                           ………………………10分

由，得

，即，                                  …………………12分

將，代入上式并化簡，得

，所以，即，   

因此，橢圓長軸長的最小值為.                                           ………………………13分