Question

已知橢圓和拋物線有公共焦點F(1,0), 的中心和的頂點都在坐標原點，過點M（4，0）的直線與拋物線分別相交于A,B兩點.

（1）寫出拋物線的標準方程；

（2）若，求直線的方程；

（3）若坐標原點關于直線的對稱點在拋物線上，直線與橢圓有公共點，求橢圓的長軸長的最小值.

Answer 1

解：（1）由題意，拋物線的方程為：，                                                       

（2）設直線的方程為：.

聯立，消去，得 ， 

顯然，設，則     ① ，     ②                   又，所以      ③                                     

由①② ③消去，得， 故直線的方程為或 .        

（3）設，則中點為， 因為兩點關于直線對稱，

所以，即，解之得，                   

將其代入拋物線方程，得：，所以，.  

聯立 ，消去，得：.                  

由，得

，即，                          

將，代入上式并化簡，得，

所以，即，因此，橢圓長軸長的最小值為.