Question

如圖(1),已知ABCD是上、下底邊長分別為2和6,高為的等腰梯形.將它沿對稱軸OO₁折成直二面角,如圖(2).

(1)證明AC⊥BO₁;

(2)求二面角O—AC—O₁的大小.

Answer 1

解法一：(1)證明:由題設知OA⊥OO₁,OB⊥OO₁,

    所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角,即OA⊥OB.

    故可以O為原點,OA、OB、OO₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.如下圖,則相關各點的坐標是A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,1,)、O₁(0,0,).

    從而=(-3,1,),=(0,-3,),·=-3+·=0.

    所以AC⊥BO₁.

(2)解:因為·=-3+·=0,

    所以BO₁⊥OC.

    由(1)AC⊥BO₁,所以BO₁⊥平面OAC,BO₁是平面OAC的一個法向量.

    設n=(x,y,z)是平面O₁AC的一個法向量,

    由

    取z=,得n=(1,0,).

    設二面角O—AC—O₁的大小為θ,由n、的方向可知θ=〈n,〉,

    所以cosθ=cos〈n,〉==,

    即二面角O—AC—O₁的大小是arccos.

解法二:(1)證明:由題設知OA⊥OO₁,OB⊥OO₁,所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角,即OA⊥OB.

    從而AO⊥平面OBCO₁,OC是AC在面OBCO₁內(nèi)的射影.

    因為tan∠OO₁B=,tan∠O₁OC==,

    所以∠OO₁B=60°,∠O₁OC=30°,

    從而OC⊥BO₁.

    由三垂線定理得AC⊥BO₁.

(2)解:由(1)AC⊥BO₁,OC⊥BO₁,知BO₁⊥平面AOC.

    設OC∩O₁B=E,過點E作EF⊥AC于點F,連結(jié)O₁F(如下圖),

    則EF是O₁F在平面AOC內(nèi)的射影.由三垂線定理得O₁F⊥AC,

    所以∠O₁FE是二面角O—AC—O₁的平面角.

    由題設知OA=3,OO₁=,O₁C=1,

    所以O₁A=,

AC=.

    從而O₁F=.

    又O₁E=OO₁·sin30°=,

    所以sin∠O₁FE=,

    即二面角O—AC—O₁的大小是arcsin.