Question

已知函數(shù)，其中是常數(shù).
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）若存在實數(shù)，使得關于的方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍.

Answer 1

（1）曲線在點處的切線方程為
（2）要使方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，的取值范圍必須是.

解：（1）由可得
.         
當時, ,.        
所以 曲線在點處的切線方程為，
即.                        
（2） 令，
解得或.               
當，即時，在區(qū)間上，，所以是上的增函數(shù).
所以 方程在上不可能有兩個不相等的實數(shù)根.
當，即時，隨的變化情況如下表

		↘		↗

 
由上表可知函數(shù)在上的最小值為.
因為 函數(shù)是上的減函數(shù)，是上的增函數(shù)，
且當時，有.
所以 要使方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，的取值范圍必須是
.