Question

輕紡城的一家私營(yíng)企業(yè)主，一月初向銀行貸款一萬元作開店資金，每月月底獲得的利潤(rùn)是該月月初投入資金的20%，每月月底需要交納房租和所得稅為該月所得金額（包括利潤(rùn)）的10%，每月的生活費(fèi)開支300元，余款作為資金全部投入再經(jīng)營(yíng)，如此繼續(xù)，問該年年底，該私營(yíng)企業(yè)主有現(xiàn)款多少元？如果銀行貸款的年利率為5%，問私營(yíng)企業(yè)主還清銀行貸款后純收入還有多少元？

Answer 1

分析：由題意知設(shè)第n個(gè)月月底余a_n，第n+1個(gè)月月底余a_n+1，則能夠推導(dǎo)出a_n+1-3750=1.08（a_n-3750），設(shè)b_n=a_n-3750，b₁=6750，則{b_n}是等比數(shù)列b_n=b₁×1.08^n-1，由此可知a_n=6750×1.08^n-1+3750，a₁₂=6750×1.08¹¹+3750≈19488.6，進(jìn)而可得答案．

解答：解：第一個(gè)月月底余
a₁=（1+20%）×10000-（1+20%）×10000×10%-300=10500元，
設(shè)第n個(gè)月月底余a_n，第n+1個(gè)月月底余a_n+1，
則a_n+1=a_n（1+20%）-a_n（1+20%）×10%-300=1.08a_n-300（n≥1），
從而有a_n+1-3750=1.08（a_n-3750），
設(shè)b_n=a_n-3750，b₁=6750，∴{b_n}是等比數(shù)列b_n=b₁×1.08^n-1，
∴a_n=6750×1.08^n-1+3750，a₁₂=6750×1.08¹¹+3750≈19488.6，
還貸后純收入為a₁₂-10000（1+5%）=8988.60元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，解題時(shí)要注意認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，避免不必要的錯(cuò)誤．