Question

數列{a_n}滿足
（1）對任意n∈N+，an∈{t|t=cos

mπ

2

，m∈Z}；
（2）數列{a_n}前2009項和為-99．
（3）數列{（a_n+1）²}前2009項和為2010．則{a_n}前2009項中，取值為-1的項有（　　）

A．147個

B．148個

C．149個

D．150個

Answer 1

分析：根據條件（1）可知a_n∈{1，0，-1}，a_n²=0，1，根據（2）和（3）數列{an}前2009項和為-99，數列{（a_n+1）²}前2009項和為2010，利用完全平方公式展開，整體代換，即可求得{a_n}前2009項中，取值為-1的項的個數．

解答：解：∵對任意n∈N+，an∈{t|t=cos

mπ

2

，m∈Z}，
∴a_n∈{1，0，-1}，a_n²=0，1
∵數列{a_n}前2009項和為-99，即a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₀₉=-99，
數列{（a_n+1）²}前2009項和為2010，即（a₁+1）²+（a₂+1）²+（a₃+1）²+…+（a₂₀₀₉+1）²
=a₁²+a₂²+a₃²+…+a₂₀₀₉²+2（a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₀₉）+2009=2010，
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a₂₀₀₉²=199，②
由①②知{an}前2009項中，取值為-1的項149個．
故選C．

點評：考查數列的應用即數列的求和問題，題目與三角函數結合，命題形式新穎，同時考查了三角函數的周期性和特殊角的三角函數值，在計算過程中注意整體代換，屬中檔題．